【等比数列中】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比（记作 $ q $）。等比数列广泛应用于数列求和、指数增长、金融计算等多个领域。
以下是对等比数列的基本概念和性质的总结：
一、等比数列的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 等比数列 | 从第二项起，每一项与前一项的比值为同一个常数的数列 |
| 首项 | 数列的第一个数，记作 $ a_1 $ |
| 公比 | 数列中相邻两项的比值，记作 $ q $ |
| 第n项 | 数列中的第n个数，记作 $ a_n $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
二、等比数列的性质
| 性质 | 内容 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，其中 $ n \in \mathbb{N}^ $ | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） $ S_n = a_1 \cdot n $（当 $ q = 1 $） | ||
| 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $，$ b $ 称为 $ a $ 和 $ c $ 的等比中项 | ||
| 无穷等比数列求和 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无限项的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
三、等比数列的应用示例
假设有一个等比数列：
首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，则前5项为：
| 项数 $ n $ | 第n项 $ a_n $ | 说明 |
| 1 | 2 | 初始项 |
| 2 | 6 | $ 2 \times 3 $ |
| 3 | 18 | $ 6 \times 3 $ |
| 4 | 54 | $ 18 \times 3 $ |
| 5 | 162 | $ 54 \times 3 $ |
前5项和为：
$$
S_5 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242
$$
也可以使用公式计算：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
四、注意事项
- 当公比 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，每一项都等于首项。
- 当公比 $ q = 0 $ 时，数列从第二项开始全为0。
- 当公比为负数时，数列会呈现正负交替的趋势。
- 在实际应用中，需注意数列的收敛性，尤其是涉及无穷项时。
通过以上内容可以看出，等比数列不仅结构清晰，而且具有广泛应用价值。掌握其基本公式和性质，有助于解决许多实际问题。