【如何求切线方程与法线方程】在微积分中，求曲线的切线方程和法线方程是常见的问题。它们不仅用于几何分析，也在物理、工程等领域有广泛应用。理解这两类方程的求解方法，有助于更深入地掌握导数的应用。
一、基本概念
- 切线：在某一点处与曲线相切的直线，其斜率等于该点处的导数值。
- 法线：与切线垂直的直线，其斜率为切线斜率的负倒数（前提是切线斜率不为0）。
二、求解步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 求导 | 对函数求导，得到导数表达式 f’(x) 或 dy/dx。 |
| 2. 代入点 | 将给定点 (x₀, y₀) 代入导数，得到切线斜率 k = f’(x₀)。 |
| 3. 切线方程 | 使用点斜式：y - y₀ = k(x - x₀) |
| 4. 法线方程 | 法线斜率为 -1/k（k ≠ 0），同样使用点斜式：y - y₀ = (-1/k)(x - x₀) |
三、示例说明
例题：已知曲线 y = x²，在点 (1, 1) 处求切线方程与法线方程。
解：
1. 求导：
y = x² ⇒ y' = 2x
2. 代入点 (1, 1)：
y'(1) = 2 × 1 = 2 ⇒ 切线斜率 k = 2
3. 切线方程：
y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x - 1
4. 法线方程：
法线斜率 = -1/2
y - 1 = -1/2(x - 1) ⇒ y = -1/2 x + 3/2
四、注意事项
- 若导数为0，则切线为水平线，法线为垂直线；
- 若导数不存在（如尖点或垂直切线），需用其他方式判断；
- 确保点 (x₀, y₀) 在曲线上，否则无法正确求解。
五、表格对比
| 项目 | 切线方程 | 法线方程 |
| 斜率 | f’(x₀) | -1/f’(x₀)（f’(x₀) ≠ 0） |
| 公式 | y - y₀ = f’(x₀)(x - x₀) | y - y₀ = -1/f’(x₀)(x - x₀) |
| 特殊情况 | 导数为0时，切线为水平线 | 导数为0时，法线为垂直线 |
通过以上步骤和示例，可以系统地掌握如何求解切线方程与法线方程。实际应用中，应结合具体函数进行分析，灵活运用导数知识。