【椭圆的焦点坐标公式】在解析几何中，椭圆是一个重要的二次曲线，其定义为平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的所有点的集合。椭圆的焦点坐标是研究椭圆性质的重要参数之一。本文将对椭圆的焦点坐标公式进行总结，并以表格形式展示不同情况下椭圆的焦点位置。
一、椭圆的基本概念
椭圆的标准方程有两种形式，分别对应于椭圆长轴与x轴或y轴平行的情况：
1. 横轴椭圆（长轴在x轴上）：
$$
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)
$$
2. 纵轴椭圆（长轴在y轴上）：
$$
\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)
$$
其中，$(h, k)$ 是椭圆的中心坐标，$a$ 是半长轴长度，$b$ 是半短轴长度。
二、焦点坐标的计算公式
椭圆的两个焦点位于长轴上，距离中心点的距离为 $c$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。
| 椭圆类型 | 标准方程 | 焦点坐标 | 焦点位置说明 |
| 横轴椭圆 | $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ | $(h \pm c, k)$ | 焦点在x轴方向，左右对称 |
| 纵轴椭圆 | $\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1$ | $(h, k \pm c)$ | 焦点在y轴方向，上下对称 |
三、注意事项
- $a$ 表示的是椭圆的长轴半长，因此 $a > b$。
- $c$ 的值始终小于 $a$，即 $c < a$。
- 如果 $a = b$，则椭圆退化为一个圆，此时焦点重合于圆心。
四、举例说明
示例1：横轴椭圆
设椭圆方程为：
$$
\frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1
$$
- 中心：$(2, 3)$
- $a = 5$, $b = 3$
- $c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
- 焦点坐标：$(2 \pm 4, 3)$ → $(6, 3)$ 和 $(-2, 3)$
示例2：纵轴椭圆
设椭圆方程为：
$$
\frac{(x + 1)^2}{16} + \frac{(y - 4)^2}{25} = 1
$$
- 中心：$(-1, 4)$
- $a = 5$, $b = 4$
- $c = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
- 焦点坐标：$(-1, 4 \pm 3)$ → $(-1, 7)$ 和 $(-1, 1)$
五、总结
椭圆的焦点坐标公式依赖于椭圆的长轴方向和标准方程形式。通过计算 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$，可以确定焦点相对于中心的位置。掌握这些公式有助于更深入地理解椭圆的几何特性及其应用。