【函数单调性的求法和步骤】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要性质之一。它可以帮助我们判断函数在某个区间内是递增还是递减的，从而为图像绘制、极值分析等提供重要依据。掌握函数单调性的求法和步骤，是学习高等数学的基础内容之一。
以下是对函数单调性求解方法的总结，结合具体步骤与实例进行说明。
一、函数单调性的定义
- 单调递增：若在区间 $ I $ 上，对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递增。
- 单调递减：若在区间 $ I $ 上，对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递减。
- 严格单调：若不等号为严格不等式（即 $ < $ 或 $ > $），则称为严格单调。
二、函数单调性的求法和步骤
以下是求函数单调性的标准步骤：
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定定义域：首先明确函数的定义域，因为单调性只在定义域的子区间上讨论。 |
| 2 | 求导数：计算函数的一阶导数 $ f'(x) $。 |
| 3 | 找临界点：令导数等于零，解方程 $ f'(x) = 0 $，找出所有可能的临界点。 |
| 4 | 划分区间：根据临界点将定义域划分为若干个小区间。 |
| 5 | 判断导数符号：在每个小区间内选取一个测试点，代入导数 $ f'(x) $，判断其正负。 |
| 6 | 确定单调性：若导数为正，则函数在该区间单调递增；若导数为负，则函数单调递减。 |
三、示例解析
函数： $ f(x) = x^3 - 3x $
步骤如下：
1. 定义域：$ (-\infty, +\infty) $
2. 求导数：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 找临界点：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $
4. 划分区间：区间为 $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, $ (1, +\infty) $
5. 判断导数符号：
- 在 $ (-\infty, -1) $ 中取 $ x = -2 $，得 $ f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，递增
- 在 $ (-1, 1) $ 中取 $ x = 0 $，得 $ f'(0) = -3 < 0 $，递减
- 在 $ (1, +\infty) $ 中取 $ x = 2 $，得 $ f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0 $，递增
6. 结论：
- 在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上单调递增
- 在 $ (-1, 1) $ 上单调递减
四、注意事项
- 导数为零的点可能是极值点，但不一定改变单调性。
- 若导数在某点不存在，也需考虑该点是否影响单调性。
- 单调性是局部性质，不能直接推广到整个定义域。
通过以上步骤，我们可以系统地分析函数的单调性，为后续的极值分析、函数图像绘制等提供坚实基础。掌握这些方法，有助于提升对函数行为的理解和应用能力。