问等比乘等差的前n项和

【等比乘等差的前n项和】在数列的学习中，等差数列与等比数列是两个非常重要的基础内容。而“等比乘等差”的前n项和问题，则是将这两种数列结合在一起进行求和的一种复杂情况。这类题目在高中数学、大学初等数学以及各类考试中经常出现，掌握其解法对于提高数学思维能力具有重要意义。

一、问题概述

设有一个数列，其中每一项由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，即：

$$

a_n = (a + (n-1)d) \cdot r^{n-1}

$$

其中：

- $ a $ 是等差数列的首项；

- $ d $ 是等差数列的公差；

- $ r $ 是等比数列的公比。

我们需要求的是这个数列的前n项和，即：

$$

S_n = \sum_{k=1}^{n} (a + (k-1)d) \cdot r^{k-1}

$$

二、求解方法总结

该类问题通常采用错位相减法（也称为“逐项相减法”）来求解。具体步骤如下：

1. 写出前n项和表达式：

$$

S_n = a \cdot r^0 + (a + d) \cdot r^1 + (a + 2d) \cdot r^2 + \cdots + [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1}

$$

2. 两边同时乘以公比r：

$$

rS_n = a \cdot r^1 + (a + d) \cdot r^2 + (a + 2d) \cdot r^3 + \cdots + [a + (n-1)d] \cdot r^n

$$

3. 用原式减去新式：

$$

S_n - rS_n = a + d(r^1 - r^1) + d(r^2 - r^2) + \cdots + d(r^{n-1} - r^{n-1}) - [a + (n-1)d] \cdot r^n

$$

4. 化简后得到结果公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，最终公式为：

$$

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{dr(1 - nr^{n-1} + (n-1)r^n)}{(1 - r)^2}

$$

三、典型例题与计算结果对比

四、常见特殊情况

五、小结

“等比乘等差的前n项和”是一种典型的复合数列求和问题。通过错位相减法可以系统地推导出通项公式，并适用于多种实际应用场景。掌握这一方法不仅有助于解决数学问题，还能提升逻辑推理能力和数学建模能力。

表格总结

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